0
Calcul en temps infini
aléatoire algorithmique
mathématiques à rebours
dans l' et les .
Quelques clés pour suivre

Liens entre calcul et définissabilité

\(M\)
\(\{n\in\mathbb N:M(n)=1\}\)
\(\{n\in\mathbb N:\phi(n)\}\)
\(?\)
Ces liens permettent d'utiliser le paradigme "calcul" dans d'autres domaines de la logique :
  • La théorie de la preuve, qui étudie du point de vue mathématique la prouvabilité.
  • La théorie descriptive des ensembles, qui étudie les propriétés des ensembles définissables des rééls.

Le calcul

Un calcul est l'execution "mécanique" d'une suite d'opération.
Par exemple, les ordinateurs effectuent des calculs. Les enfants aussi quand ils apprennent à poser des additions.
  • Une fonction est calculable, si l'image d'un élément peut être connue à l'aide d'un calcul.
  • Un ensemble d'entiers est calculable, si l'appartenance à l'ensemble peut être connue à l'aide d'un calcul.
\(n\)
\(f(n)\)
\(n\in A\)
\(f\) calculable
\(A\) calculable
\(A\) calculatoirement énumérable
De fort liens entre calculabilité et définissabilité
  • Un algorithme définit un objet.
  • Réciproquement, une définition induit un algorithme.
\[A\text{ est définissable par une formule }\Delta^0_n\Longleftrightarrow A\text{ est calculable avec oracle }\emptyset^{(n)}\]

La définissabilité

  • Prouver un énoncé requiert généralement de définir des objets en mathématiques.
  • En logique mathématiques, nous nous interessons aux formules pour définir des ensembles par compréhension, et à leur complexité.
  • Une formule est une suite de symbole. En particulier "\(\forall\)" veut dire "pour tout" et "\(\exists\)" veut dire "il existe".
  • La complexité d'une formule est le nombre d'alternances de quantifications, avec un \(\Pi\) s'il commence par un "\(\forall\)", et un \(\Sigma\) sinon.
  • La complexité d'un ensemble est la plus basse complexité d'une formule le définissant.
  • Les ensemble \(\Delta_n\) sont les ensembles à la fois \(\Pi_n\) et \(\Sigma_n\)
Soit \(N\) le plus petit entier tel que \(f(N)\gt 100\).
Soit \(A\) l'ensemble des entiers pairs.
Soit \(T\) l'ensemble des fonctions de \(\mathbb N\) dans \(\mathbb N\) qui soient totales.
La formule pour "\(n\) est pair" : \(\exists m, n=2m\)
La formule pour "\(f\) est totale" : \(\forall n\ \exists m, f(n)=m\)
\(\exists m, n=2m\) est \(\Sigma_1\) tandis que \(\forall n\ \exists m, f(n)=m\) est \(\Pi_2\)
L'ensemble des entiers pair est \(\Sigma_1\) tandis L'ensemble des fonctions totales est \(\Pi_2\)
Quantification sur les entiers : \(\Sigma^{\color{red}0}_n\)
Quantification sur les ensembles d'entiers : \(\Sigma^{\color{red}1}_n\)
Le Théorème de Hindman
Pour tout coloriage des entiers en un nombre fini de couleurs, il existe un ensemble infini \(H\subseteq\mathbb N\) tel que l'ensemble des sommes finies d'éléments de \(H\) est monochromatique.

État de l'art des mathématiques à rebours du théorème de Hindman.

  • Le théorème de Hindman est prouvable dans \(\mathrm{ACA}_0^+\).
  • Tout coloriage \(c\) admet un ensemble homogène \(H\) calculable en le \(\omega+2\)-ième saut de Turing de \(c\).
  • Le théorème de Hindman prouve \(\mathrm{ACA}_0\).
  • Il existe un coloriage dont tout ensemble homogène \(H\) calcule \(\emptyset'\).
  • Le théorème de Hindman est-il équivalent à \(\mathrm{ACA}_0\) ? Ou à \(\mathrm{ACA}_0^+\) ? Ou strictement entre les deux ?
  • Étant donné un coloriage calculable, existe-t-il toujours une solution arithmétique ? Ou existe-t-il un coloriage calculable dont toute solution calcule \(\emptyset^{(\omega)}\) ?

Idée de la preuve

Définir une notion de largesse tel quon puisse prouver : $$\text{Il existe une couleur large}\tag{1}$$ $$A\text{ large }\Longrightarrow \exists n\in A, A\cap A+n\text{ est large. }\tag{2}$$
Notion de largesse possibles :
  • Large ≡ infini
  • Large ≡ contient un \(\mathrm{FS}(X)\) pour un \(X\) infini.
  • Large ≡ pour un sous-ensemble infini, il n'existe pas de solution pour une autre couleur (Baumgartner)
  • Large ≡ large pour un ultrafiltre idempotent (Galvin-Glazer)

Effectivisation de la preuve

Le problème est que l'ensemble construit dans (2) est choisi de manière fortement non uniforme parmi un nombre fini de candidats potentiels.
$$A\text{ large }\Longrightarrow \exists n_0,\cdots, n_N\in A, \bigcup_{i\lt N}A\cap A+n_i\text{ est large. }$$
Un full-match pour un coloriage \(c\) est un couple \((F,S)\) où \(F\) est un ensemble fini, et pour toute somme finie \(x\) d'élément de \(S\), il existe un \(a\in F\) tel que \(c(a)=c(x)=c(a+x)\).
La complexité d'un full-match est essentielle pour comprendre la complexité d'une solution au théorème de Hindman !
Est-ce qu'on a que pour tout coloriage calculable, il existe un full-match calculable ?
  • Un réponse affirmative prouverait le théorème de Hindman équivalent à \(\mathrm{ACA}_0\)
  • Il était cru que cette question était prouvée fausse, mais il y avait une erreur dans la preuve
Tout coloriage calculable en deux couleurs admet un left-match calculable.
Considérons la propriété suivante : $$\exists F\subseteq C_i, \forall x\in\operatorname{FS}(S),\ \exists a\in F,\ c(a+x) = j\tag{\(\mathrm{MM}_{i,j}\)}$$
Tout coloriage calculable en deux couleurs satisfaisant l'une des propriétés suivante :
  • \(\lnot(\mathrm{MM}_{0,1})\) ou \(\lnot(\mathrm{MM}_{1,0})\)
  • \((\mathrm{MM}_{0,0})\) et \((\mathrm{MM}_{1,1})\)
  • \(\lnot(\mathrm{MM}_{0,0})\) et \(\lnot(\mathrm{MM}_{1,1})\)
admet un full-match calculable.
Quelques examples
L'ensemble des entiers pairs :
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 ... 45 46 ...

Le calcul en temps infini

Habituellement, un calcul se termine en un nombre fini d'étapes. Un algorithme consiste en l'ensembles de rêgles pour passe d'une étape à la suivante.

On veut maintenant que le nombres d'étapes puisse être infini. On doit cependant conserver la notion de suivant.

\(\omega\)
\(\omega+1\)
\(\omega+\omega\)
\(\omega\times\omega\)
\(\omega^{\omega}\)

Trois types de calculs en temps infini

Les Machines de Turing à temps infini

Une machine de Turing à temps infini (ITTM) est une machine de Turing à trois rubans (entrée, travail et sortie) avec un état spécial (nommé état limite). Un calcul à temps infini est une suite d'état indicé par un ordinal tel que :
  • Aux étapes successeurs, les rêgles sont les même que pour une machine de Turing habituelle
  • Aux étapes limites :
    • L'état est l'état limite
    • La tête de lecture est à gauche
    • Chaque cellule de la mêmoire est la \(\limsup\) de ses valeurs précédentes : $$T_\lambda(n)=\limsup_{\alpha<\lambda}T_\alpha(n)$$
  • Trois niveau de calcul pour un réel \(x\) :
    • Écrivable : À une étape, la machine a \(x\) écrit sur le ruban de sortie et s'arrête.
    • Éventuellement écrivable : À une étape, la machine a \(x\) écrit sur le ruban de sortie et ne le modifie plus jamais.
    • Accidentellement écrivable : À une étape, la machine a \(x\) écrit sur le ruban de sortie.
Soit \(\lambda\), \(\zeta\) et \(\Sigma\) le lexicographiquement plus petit triplet d'ordinaux tels que : $$ L_{\color{red}\lambda}\prec_1 L_{\color{blue}\zeta} \prec_2 L_{\color{green}\Sigma}$$ Alors,
  • \(\lambda\) est le supremum des temps d'arrets et des ordinaux écrivables par une ITTM
  • \(\zeta\) est le supremum des temps de stabilisation et des ordinaux éventuellements écrivables par une ITTM
  • \(\Sigma\) est le supremum des temps hors boucle, et des ordinaux accidentellements écrivables par une ITTM
  • Et pour les ensemble réel \(A\subseteq\mathbb R\) :
    • ITTM-décidable : \(\forall x\in\mathbb R\), on a \(x\in A\Longleftrightarrow M(x)\downarrow=1\) pour une ITTM \(M\) totale.
    • ITTM-semi-décidable : \(\forall x\in\mathbb R\), on a \(x\in A\Longleftrightarrow M(x)\downarrow\).
  • \(\lambda\)-calculabilité et écrivabilité coincident
  • \(\zeta\)-calculabilité et eventuelle-écrivabilité coincident
  • \(\Sigma\)-calculabilité et accidentelle-écrivabilité coincident

La higher recursion

  • Un ensemble \(A\subseteq\mathbb N\) est \(\Sigma^1_1\) s'il est définissable par une formule de la forme $$\exists X\in \mathcal P(\mathbb N),\ \psi(X,x)$$ où \(\psi(X,x)\) est arithmétique.
  • Un ensemble \(A\subseteq\mathbb N\) est \(\Pi^1_1\) si son complémentaire est \(\Sigma^1_1\).
  • Un ensemble \(A\subseteq\mathbb N\) est \(\Delta^1_1\) s'il est à la fois \(\Sigma^1_1\) et \(\Pi^1_1\).
Un ensemble \(A\subseteq\mathbb N\) est
  • higher calculable s'il est \(\Delta^1_1\).
  • higher calculatoirement énumérable s'il est \(\Pi^1_1\).
  • higher co-calculatoirement énumérable s'il est \(\Sigma^1_1\).

Lien avec le calcul en temps infini

Un ordinal calculable :
L'ordinal \(\omega_1^{\mathrm{CK}}\) est le plus petit ordinal qui ne peut pas être écrit par ordinateur.
Un ensemble \(A\subseteq\mathbb N\) est
  • higher calculable si et seulement s'il est \(\omega_1^{\mathrm{CK}}\)-calculable.
  • higher c.e. si et seulement s'il est \(\omega_1^{\mathrm{CK}}\)-calculatoirement énumérable.
  • higher co-c.e. si et seulement s'il est \(\omega_1^{\mathrm{CK}}\)-co-c.e..

L'\(\alpha\)-recursion

  • Un état de départ \(C_0\) définissant une configuration de machine.
  • Des rêgles pour passer de \(C_i\) à \(C_{i+1}\) .
Passer du temps fini au temps infini:
  • Première étape : indicer les configuration de machine par un ordinal \(\alpha\).
  • Deuxième étape : remplacer les rêgles par la définissabilité
On définit \((L_\alpha)_{\alpha\in\mathrm{Ord}}\) de la manière suivante :
  • \(L_0 = \emptyset\)
  • \(L_{\alpha+1} = \{ A\subseteq L_\alpha : \) \(A\) est définissable dans \(L_\alpha\}\)
  • \(L_\lambda = \bigcup_{\alpha<\lambda}L_\alpha\)
On dit que \(A\subseteq\mathbb N\) est
  • \(\alpha\)-récursif si \(A\) est \(\Delta_1\)-définissable dans \(L_\alpha\).
  • \(\alpha\)-r.e. si \(A\) est \(\Sigma_1\)-définissable dans \(L_\alpha\).
  • \(\alpha\)-co-r.e. si \(A\) est \(\Pi_1\)-définissable dans \(L_\alpha\).
(L'\(\omega\)-récursivité correspond à la calculabilité classique)
Tout ordinal n'est pas bon pour borner un temps de calcul :
On dit que \(\alpha\) est admissible si pour tout \(f:\beta<\alpha\to\alpha\) \(\alpha\)-calculable, on a \(\lim_{\gamma<\beta} f(\gamma)<\alpha\)
L'aléatoire algorithmique
Étudier les propriétés des réels aléatoires.
Considérons les deux suites suivantes, et leur probabilité :
\(\mathbb P(\)
\()=1\)
\()=0.5\)
\()=0.25\)
\()=0.125\)
\() ={2^{-4}}\)
\() ={2^{-5}}\)
\() ={2^{-6}}\)
\() ={2^{-7}}\)
\() ={2^{-8}}\)
\() ={2^{-9}}\)
\() ={2^{-10}}\)
\() ={2^{-11}}\)
\() ={2^{-12}}\)
\() ={2^{-13}}\)
\() ={2^{-14}}\)
\(\mathbb P(\)
\()=1\)
\()=0.5\)
\()=0.25\)
\()=0.125\)
\() ={2^{-4}}\)
\() ={2^{-5}}\)
\() ={2^{-6}}\)
\() ={2^{-7}}\)
\() ={2^{-8}}\)
\() ={2^{-9}}\)
\() ={2^{-10}}\)
\() ={2^{-12}}\)
\() ={2^{-12}}\)
\() ={2^{-13}}\)
\() ={2^{-14}}\)
On remarque :
  • Tout deux ont la même probabilité
  • La probabilité tends vers 0
  • Pourtant, la première semble plus aléatoire que la seconde...
La théorie de la mesure ne permet pas de résoudre ce paradoxe. L'aléatoire algorithmique le peut !
Un objet est aléatoire s'il ne possède aucune propriété discriminante et simple.
Un réel \(x\in {2^{\mathbb N}}\) est weak-\(n\)-random s'il ne possède aucune propriété \(\Pi^0_n\) de mesure 0.
Un ML-test est un ensemble \(\Pi^0_2\) \(A\), tel que \(A\) soit de la forme $$\bigcap_{n\in\mathbb N} U_n$$ avec \(\forall n,\ \mu(U_n)\leq {2^{-n}}\). Un réel \(x\in{2^{\mathbb N}}\) est ML-random s'il n'appartient à aucun ML-test.
  • Chaque niveau de simplicité induit une notion d'aléatoire. On ne définit pas ce qu'est un réel aléatoire, mais un nivellage des réels par à quel point ils sont aléatoires.
  • Chaque niveau a ses faiblesses :
    • Certains réels sont étrangement ML-aléatoire
    • Pour tout \(n\), un réal arithmétique est weak-\(n\)-aléatoire.
    • Cela suggère l'étude de notions d'aléatoirité forte.

L'aléatoire d'ordre supérieur

L'aléatoire d'ordre supérieur est déjà développé. Il adapte les notions d'aléatoire classique, utilisant l'équivalence entre \(\Pi^1_1\) et calculatoirement enumérable :
Un réel \(x\) est \(\Pi^1_1\)-ML-aléatoire s'il n'appartient à aucun ensemble \(A\) de la forme $$A=\bigcap_n{[W_n]^\prec}$$ où les ensembles \(W_n\) sont uniformément \(\Pi^1_1\) et \(\mu([W_n])\leq{2^{-n}}\).
Il introduit aussi de nouvelles notions :
Un réel \(x\) est \(\Delta^1_1\)-aléatoire s'il ne possède aucune propriété \(\Delta^1_1\) de mesure nulle.
Un réel \(x\) est \(\Pi^1_1\)-aléatoire s'il ne possède aucune propriété \(\Pi^1_1\) de mesure nulle.
Un réel est \(\Pi^1_1\)-aléatoire si et seulement si il est \(\Delta^1_1\)-aléatoire et \(\omega_1^{\mathrm{CK}}=\omega_1^{\mathrm{CK(x)}}\)
On a les inclusions strictes suivantes : $$\Delta^1_1\text{-randomness}\subsetneq\Pi^1_1\text{-ML-randomness}\subsetneq\Pi^1_1\text{-randomness}$$

L'aléatoire pour l'\(\alpha\)-recursion et les machines de Turing à temps infini

L'extension des définitions classiques et d'ordre supérieur est directe.
Un réel \(x\) est aléatoire pour \(L_\alpha\) s'il évite tout ensemble \(A\subseteq\mathbb R\), de code Borélien dans \(L_\alpha\) et de mesure nulle, on a \(x\not\in A\).
Un réel \(x\) est ITTM-aléatoire s'il évite tout ensemble \(A\subseteq\mathbb R\) ITTM-semi-décidable et de mesure nulle.
Un réel \(x\) est \(\alpha\)-ML-aléatoire s'il n'appartient à aucun ensemble \(A\) de la forme $$A=\bigcap_n{[W_n]^\prec}$$ où les ensembles \(W_n\) sont uniformément \(\alpha\)-calculatoirement énumérable et \(\mu([W_n])\leq{2^{-n}}\). Il est ITTM-ML-aléatoire s'il est \(\Sigma\)-ML-aléatoire.
Un réel \(x\) est ITTM-aléatoire si et seulement s'il est aléatoire pour \(L_\Sigma\) et \(\Sigma^x=\Sigma\)
✓
Pour quel \(\alpha\) a-t-on : $$\text{randomness over }L_\alpha\subsetneq\alpha\text{-ML-randomness}\text{ ?}$$
Et a-t-on $$\text{randomness over }L_\Sigma\subsetneq\text{ITTM-ML-randomness}\subsetneq\text{ITTM-randomness}\text{ ?}$$
Soit \(\alpha\) tel que \(L_\alpha\models"\text{tout est dénombrable}"\). Alors, les propositions suivantes sont équivalentes :
  • \(\alpha\) est projectible dans \(\omega\).
  • Il existe un \(\alpha\)-ML-test universel.
  • L'\(\alpha\)-ML-aléatoirité est strictement plus forte que l'aléatoirité pour \(L_\alpha\).
$$\text{Randomness over }L_\lambda\subsetneq\lambda\text{-ML-randomness}$$ $$\text{Randomness over }L_\zeta=\zeta\text{-ML-randomness}$$ $$\text{Randomness over }L_\Sigma\subsetneq\Sigma\text{-ML-randomness}$$
$$\text{Randomness over }L_\Sigma\subseteq\text{ITTM-randomness}\subsetneq\text{ITTM-ML-randomness}$$
$$\text{Randomness over }L_\Sigma\neq\text{ITTM-randomness ?}$$ Est-ce que \(x\) est aléatoire pour \(L_\Sigma\) implique $$L_\zeta[x]\prec_2L_\Sigma[x]\text{ ?}$$
Si \(x\) est générique pour \(L_\Sigma\) alors $$L_\zeta[x]\prec_2L_\Sigma[x].$$ On a donc $$\text{Genericity over }L_\Sigma\neq\text{ITTM-genericity}$$
Les mathématiques à rebours
Le but des mathématiques à rebours est d'étudier les axiomes nécessaires pour prouver les théorèmes ordinaires des mathématiques.
Prouver les axiomes en supposant le théorème.
  • Première découverte : La majorité des théorèmes naturels sont équivalent à l'un parmi cinq systèmes d'axiomes.
      Le club des Cinq
    • \(\mathrm{RCA}_0\), les mathématiques constructives,
    • \(\mathrm{WKL}_0\), la compacité,
    • \(\mathrm{ACA}_0\), la compréhension arithmétique,
    • \(\mathrm{ATR}_0\), l'induction transfinie arithmétique,
    • \(\Pi^1_1\operatorname{-}\mathrm{CA}_0\), la compréhension analytique.
  • Seconde découverte : beaucoup de théorèmes combinatoires échappent à cette structure.
Deux théorèmes \(T_0\) et \(T_1\) sont dits équivalents si :
  • En prenant \(T_0\) et \(\mathrm{RCA}_0\) pour axiomes, on peut prouver \(T_1\)
  • En prenant \(T_1\) et \(\mathrm{RCA}_0\) pour axiomes, on peut prouver \(T_0\)

L'utilisation de la calculabilité en mathématiques à rebours

Les axiomes naturels en mathématiques sont des axiomes d'existence. À l'utilisation d'un axiome correspond une complexité calculatoire.
Axiome
\(\mathrm{RCA}_0\)
\(\mathrm{WKL}_0\)
\(\mathrm{ACA}_0\)
\(\mathrm{ATR}_0\)
\(\Pi^1_1\operatorname{-}\mathrm{CA}_0\)
Complexité calculatoire
Calculable
PA
Nombre fini de saut de Turing
Hiérarchie de jump itérée
Higher calculatoirement énumérable
Lors de l'étude d'un théorème en mathématiques à rebours, on peut voir les choses de deux manières :
  • Quels sont les axiomes utilisés, nécessaires ?
  • Quels est la compléxité calculatoire des objets de la preuve, peut-on l'abaisser ?

Reverse Math : Un pas vers la calculabilité

La dualité preuves-programme a ses limites:
  • Non-uniformité finie possible dans une preuve
  • Certaines notions dépendant du modèle
  • Une preuve n'est pas sensible aux ressources
Nous voyons les théorèmes de la forme \(\forall x\in X,\ \exists y\in Y,\ \phi(x,y)\) comme des problèmes, dont le \(x\) est une instance, et le \(y\) une solution.
Instance : \(f\) continue avec \(f(0)\lt 0\) et \(f(1)\gt 0\). Solution : \(x\) tel que \(f(x)=0\)
Un problème \(P\) est Weihrauch reductible à un problème \(Q\), noté \(P\leq_{\mathrm W}Q\) si, à l'aide d'un solveur de \(Q\), on peut construire un solveur pour \(P\) de la manière suivante :
Solveur pour \(P\)
\(I_0\)
\(I_0\)
\(I_1\)
\(S_1\)
\(S_0\)
\(f\) calc.
\(g\) calc.
Solveur pour \(Q\)
Si \(I_0\) est une instance de \(P\), alors
  • \(I_1 = f(I_0)\) est une instance de \(Q\), telle que :
  • Pour toute solution \(S_1\) de \(I_1\), on a :
  • \(S_0=g(S_1, I_0)\) est une solution de \(I_0\)

Comparer des axiomes du choix

\(A_0\subseteq\{0;1\}\)
\(A_1\subseteq\{0;1\}\)
\(A_2\subseteq\{0;1\}\)
\(A_3\subseteq\{0;1\}\)
\(A_4\subseteq\{0;1\}\)
Instance : \((A_n)_{n\in\omega}\), avec \(A_n\neq\emptyset\) \(\Sigma^1_1\)
Solution : \((a_n)_{n\in\omega}\), avec \(a_n\in A_n\)
\(A_0\subseteq\{0;1\}\)
\(A_1\subseteq\{0;1\}\)
\(A_2\subseteq\{0;1\}\)
\(A_3\subseteq\{0;1\}\)
\(A_4\subseteq\{0;1\}\)
Instance : \(T\) un arbre \(\Sigma^1_1\), avec \([T]\neq\emptyset\)
Solution : \(p\in[T]\)
$$\Sigma^1_1\text{-}\mathrm{AC}_{\mathbb N}\not\leq_{\mathrm W}\Sigma^1_1\text{-}\mathrm{DC}_{\mathbb N}$$ $$\mathrm{ATR}\not\leq_{\mathrm W}\Sigma^1_1\text{-}\mathrm{AC}_{\mathbb N}$$